教学随想|一组动图帮你看出这两种运动的戚亲关系

引语

大家对匀速圆周运动并不陌生,比如地球相对于太阳的公转可以近似为匀速圆周运动,再如时钟上秒针端点的运动……但一提到简谐运动,大家就可能会觉得“不明觉厉”,不知其然。
其实,简谐运动和匀速圆周运动是亲戚,而且是近亲。今天我就来扒一扒它们之间的“血缘”关系。

实验模型

首先来看一个实验,一个匀速转动的电动机通过硬杆带动一个小球做匀速圆周运动,一束光平行于圆周平面从一侧照射,我们在另一侧竖直放置一块光屏,来观察小球在光屏上的阴影的运动情况。

教学随想|一组动图帮你看出这两种运动的戚亲关系插图

实验结果与解释

教学随想|一组动图帮你看出这两种运动的戚亲关系插图1


我们看到小球的阴影在做往复运动,但是不是简谐运动呢?不太好说。如果我们能够画出阴影相对于中心点的距离随时间变化的图像,就可以分析出阴影的运动情况。在这里,我们可以水平匀速移动光屏,追踪出阴影的运动轨迹,得到的图像就可以认为是距离随时间的图像了。

教学随想|一组动图帮你看出这两种运动的戚亲关系插图2

得出结论

不难发现,动图中的红色曲线是一条满足正弦函数的图像,即可以证明小球阴影的运动其实是简谐运动。据此,我们还可以得出一个更具普遍性的结论:匀速圆周运动在某一个方向的投影即为简谐运动。(可以说非常近的近亲哦)

结论的运用

那么,你可能会问,费了大半天功夫得出的这个结论有什么用呢?
你还记得弹簧振子和单摆的周期公式吗?(一脸懵逼)不管你记不记得,你也许并不知道它们是怎么来的?(懵逼的平方)因为它们需要解一个高等数学中的常微分方程才能得出,这已经超出了高中范围。(懵逼树上懵逼果,懵逼树下你和我)
但今天,我要告诉你,我们可以不用高数知识也可以较为严谨地推出弹簧振子和单摆的周期公式。我们需要从以下两点着手分析:

  • 动图中匀速圆周运动和简谐运动的周期是相等的。
  • 动图中简谐运动的加速度等于圆周运动的向心向心加速度在振动方向的投影(即ay)。
教学随想|一组动图帮你看出这两种运动的戚亲关系插图3

通过动图可以看出,小球阴影做简谐运动的最大加速度等于小球做圆周运动的向心加速度。即

教学随想|一组动图帮你看出这两种运动的戚亲关系插图4

又有

教学随想|一组动图帮你看出这两种运动的戚亲关系插图5

于是

教学随想|一组动图帮你看出这两种运动的戚亲关系插图6

故弹簧振子的周期

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此外,对于单摆

教学随想|一组动图帮你看出这两种运动的戚亲关系插图8

故单摆的周期

教学随想|一组动图帮你看出这两种运动的戚亲关系插图9

我们利用这个方法,间接推导出了两种常见的简谐运动的周期公式(利用常微分方程推导方法可参见《大学物理学》力学部分)。

结语

虽然今天的内容不属于高考要求范围,但这样分析思路的方法(运动的合成与分解)是值得学习和思考的。我们既可以将一个复杂的、陌生的运动分解为多个简单的、熟悉的运动,例如平抛运动的分解;也可以将这个复杂的、陌生的运动看成某个运动的分运动,例如简谐运动就是匀速圆周运动的某个方向的分运动

最后,我们再看看匀速圆周运动分解到两个互相垂直的方向上的情况吧。这个动图是不是很有想象力呢。咱们下回再聊。

教学随想|一组动图帮你看出这两种运动的戚亲关系插图10

[本文源自: 微信公众号:牛顿的梨一样伟大   作者:Physics Mr.Zhang]

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